什么是李群？

原文：https://www.quantamagazine.org/what-are-lie-groups-20251203/

作者：Leila Sloman

译者：Kurt Pan

引言

在数学中，一类无处不在的对象——群——展现出近乎神奇的力量。尽管仅由寥寥数条规则定义，却能帮助阐明令人惊叹的众多奥秘。例如，可以告诉你哪些多项式方程是可解的，或者原子在晶体中是如何排列的。

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然而，在所有不同类型的群中，有一类群格外引人注目。李群（Lie groups，发音为"Lee"）于19世纪70年代初被识别出来，对物理学中一些最基础的理论至关重要，并对数论和化学做出了持久的贡献。其成功的关键在于将群论、几何学和线性代数巧妙地融合在一起。

一般而言，群是一个元素集合，配以一种运算（如加法或乘法），该运算将两个元素结合起来产生第三个元素。通常，你可以将群理解为某个形状的对称性——即那些保持形状不变的变换。

以等边三角形的对称性为例。它们构成一个包含六个元素的群，如下所示：

（由于完整的旋转会使三角形上的每个点都回到原来的位置，数学家们不再计算超过360度的旋转。）

这些对称性是离散的：它们构成一组截然不同的变换，必须以分离的、不连续的步骤来应用。但你也可以研究连续对称性。例如，无论你将飞盘旋转1.5度、15度还是150度——你可以将它旋转任意实数角度，它看起来都是一样的。与三角形不同，飞盘拥有无穷多个对称性。

这些旋转构成一个称为 SO(2) 的群。"如果你只有一个反射，好吧，你有了它，这很好，"日内瓦大学数学家安东·阿列克谢耶夫（Anton Alekseev）说道，"但那只是一个运算。"而这个群，"是许许多多运算打包在一起"——不可数无穷多。

飞盘的每一次旋转都可以表示为坐标平面上的一个点。如果你以这种方式绘制飞盘所有可能的旋转，你最终会得到无穷多个点，它们共同形成一个圆。

这个额外的性质正是使SO(2)成为李群的原因——它可以被可视化为一个光滑、连续的形状，称为流形。其他李群可能看起来像甜甜圈的表面，或高维球面，或更奇特的东西：球体在空间中所有旋转构成的群，数学家称之为SO(3)，是一个由球面和圆组成的六维纠缠结构。

无论具体细节如何，李群光滑的几何结构正是提升其在群中地位的秘密要素。

切线之外

马里乌斯·索菲斯·李（Marius Sophus Lie）走向数学的道路并非一帆风顺。19世纪50年代在挪威长大时，他希望中学毕业后能从事军事生涯。然而，由于视力不佳，他被迫放弃了这个梦想，最终进入大学，却不确定该学什么。他修读了天文学和力学课程，短暂地涉猎过物理学、植物学和动物学，最后才被数学——尤其是几何学——所吸引。

19世纪60年代末，他继续深造，先在德国，后在法国。1870年他在巴黎时，普法战争爆发了。他很快试图离开法国，但他用德语书写的几何笔记被误认为是编码信息，结果他被逮捕，被指控为间谍。一个月后他被释放出狱，随即回归数学研究。

特别是，他开始研究群。四十年前，数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）曾使用一类群来理解多项式方程的解。李现在想对所谓的微分方程做同样的事情，微分方程被用来建模物理系统如何随时间变化。

他对微分方程的设想并没有如他所愿地实现。但他很快意识到，他所研究的这些群本身就很有趣。于是，李群诞生了。

李群的流形特性给数学家们带来了巨大的便利。当他们坐下来理解一个李群时，可以使用几何学和微积分的所有工具——这对其他类型的群不一定适用。这是因为每个流形都有一个良好的性质：如果你放大到一个足够小的区域，它的曲线就会消失，就像球形的地球对于行走在其表面上的我们来说看起来是平的一样。

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为了理解为什么这对研究群很有用，让我们回到SO(2)。记住，SO(2)由飞盘的所有旋转组成，而这些旋转可以表示为圆上的点。现在，让我们关注圆的一小段弧，对应于非常小的旋转——比如，小于1度的旋转。

在这里，SO(2)的曲率几乎察觉不到。当飞盘旋转1度或更少时，其边缘上的任意给定点几乎沿直线路径移动。这意味着数学家可以用一条仅在一点处与圆相切的直线来近似这些旋转——这就是切线。这条切线被称为李代数。

这个特性极其有用。在直线上做数学比在曲线上容易得多。而且李代数包含其自身的元素（通常被可视化为称为向量的箭头），数学家可以用它们来简化对原始群的计算。"世界上最简单的数学之一就是线性代数，而李群理论的设计方式使其不断地利用线性代数，"麻省理工学院的大卫·沃根（David Vogan）说。

假设你想比较两个不同的群。沃根说，它们各自的李代数简化了它们的关键性质，使这项任务变得更加直接。

"这两种结构之间的相互作用，"苏黎世联邦理工学院数学家亚历山德拉·约齐（Alessandra Iozzi）谈到李群及其代数时说，"产生了绝对海量的推论。"

自然的语言

自然界充满了李群所捕捉的那类连续对称性，这使得它们在物理学中不可或缺。以引力为例。太阳对地球的引力只取决于它们之间的距离——例如，地球在太阳的哪一侧并不重要。用李群的语言来说，引力"在SO(3)下是对称的"。当它所作用的系统在三维空间中旋转时，引力保持不变。

事实上，物理学中所有基本力——引力、电磁力，以及将原子核结合在一起的力——都由李群对称性来定义。利用这一定义，科学家可以解释关于物质的基本谜题，例如为什么质子总是与中子成对出现，以及为什么原子的能量是离散量化的。

1918年，埃米·诺特（Emmy Noether）证明李群也是物理学中一些最基本守恒定律的基础，震惊了数学家和物理学家。她表明，对于物理系统中任何可以用李群描述的对称性，都存在一个相应的守恒定律。例如，物理定律今天与昨天相同、明天也将如此这一事实——一种称为时间平移对称性的对称性，由实数构成的李群表示——意味着宇宙的能量必须守恒，反之亦然。"我认为，即使是现在，这仍然是一个非常令人惊讶的结果，"阿列克谢耶夫说。

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今天，李群仍然是数学家和物理学家的重要工具。"定义之所以在数学中存在，是因为它们强大。因为有很多有趣的例子，它们给你提供了一种思考问题的好方法，"沃根说，"对称性无处不在，而这正是这些东西的用武之地。"